An Optimization Problem with Volume Constrain in Orlicz Spaces

We consider the optimization problem of minimizing R Ω G(|∇u|) dx in the class of functions W (Ω), with a constrain on the volume of {u > 0}. The conditions on the function G allow for a different behavior at 0 and at ∞. We consider a penalization problem, and we prove that for small values of the penalization parameter, the constrained volume is attained. In this way we prove that every solution u is locally Lipschitz continuous and that the free boundary, ∂{u > 0} ∩ Ω, is smooth. Résumé. Nous considérons le problème d’optimisation de minimiser R Ω G(|∇u|) dx sur la classe des fonctions W (Ω), avec une restriction sur le volume de {u > 0}. Les conditions sur la fonction G permettent un comportement différent en 0 et à ĺınfini. Nous considérons un problème de pénalisation et nous prouvons que le volume fixé est atteint quand la valeur de la pénalisation est petite. De cette manière nous prouvons que toute solution u est localement Lipschitzienne et que la frontière libre ∂{u > 0} ∩ Ω est regulière.